\(\int (d \sin (e+f x))^n \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx\) [125]

Optimal result

Integrand size = 23, antiderivative size = 72 \[ \int (d \sin (e+f x))^n \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\frac {\cos (e+f x) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2},1+n,2+n,\sin (e+f x)\right ) (d \sin (e+f x))^{1+n}}{d f (1+n) \sqrt {1-\sin (e+f x)} \sqrt {1+\sin (e+f x)}} \]

[Out]

cos(f*x+e)*hypergeom([1/2, 1+n],[2+n],sin(f*x+e))*(d*sin(f*x+e))^(1+n)/d/f/(1+n)/(1-sin(f*x+e))^(1/2)/(1+sin(f
*x+e))^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.04 (sec) , antiderivative size = 72, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 2, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.087, Rules used = {2855, 66} \[ \int (d \sin (e+f x))^n \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\frac {\cos (e+f x) (d \sin (e+f x))^{n+1} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2},n+1,n+2,\sin (e+f x)\right )}{d f (n+1) \sqrt {1-\sin (e+f x)} \sqrt {\sin (e+f x)+1}} \]

[In]

Int[(d*Sin[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]],x]

[Out]

(Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, 1 + n, 2 + n, Sin[e + f*x]]*(d*Sin[e + f*x])^(1 + n))/(d*f*(1 + n)*Sqrt[1
- Sin[e + f*x]]*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])

Rule 66

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[c^n*((b*x)^(m + 1)/(b*(m + 1)))*Hypergeometr
ic2F1[-n, m + 1, m + 2, (-d)*(x/c)], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] && (IntegerQ[n] || (GtQ[
c, 0] &&  !(EqQ[n, -2^(-1)] && EqQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[-d/(b*c), 0])))

Rule 2855

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Dist
[a^2*(Cos[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]])), Subst[Int[(c + d*x)^n/Sqrt[a - b*x]
, x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ
[c^2 - d^2, 0] &&  !IntegerQ[2*n]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\cos (e+f x) \text {Subst}\left (\int \frac {(d x)^n}{\sqrt {1-x}} \, dx,x,\sin (e+f x)\right )}{f \sqrt {1-\sin (e+f x)} \sqrt {1+\sin (e+f x)}} \\ & = \frac {\cos (e+f x) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2},1+n,2+n,\sin (e+f x)\right ) (d \sin (e+f x))^{1+n}}{d f (1+n) \sqrt {1-\sin (e+f x)} \sqrt {1+\sin (e+f x)}} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 5 in optimal.

Time = 6.23 (sec) , antiderivative size = 2282, normalized size of antiderivative = 31.69 \[ \int (d \sin (e+f x))^n \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[(d*Sin[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]],x]

[Out]

(2^(2 + n)*(Sec[(e + f*x)/4]^2)^(2*n)*(Cos[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(e + f*x))/4]))^n*(d*Sin[e
+ f*x])^n*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*(Cos[(e + f*x)/2]*Sin[e + f*x]^n + Sin[(e + f*x)/2]*Sin[e + f*x]^n)*Tan[(e +
f*x)/4]*(2*(2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 2*(1 + n), (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] - (
2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 1 + 2*n, (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] + 2*(1 + n)*Appell
F1[1 + n/2, -n, 2 + 2*n, 2 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Tan[(e + f*x)/4]))/(f*(1 + n)*(2 +
n)*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sin[e + f*x]^n*(1 - Tan[(e + f*x)/4]^2)^n*((2^(1 + n)*n*(Sec[(e + f*x
)/4]^2)^(1 + 2*n)*(Cos[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(e + f*x))/4]))^n*Tan[(e + f*x)/4]^2*(2*(2 + n
)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 2*(1 + n), (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] - (2 + n)*AppellF1[(1
+ n)/2, -n, 1 + 2*n, (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] + 2*(1 + n)*AppellF1[1 + n/2, -n, 2
+ 2*n, 2 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Tan[(e + f*x)/4])*(1 - Tan[(e + f*x)/4]^2)^(-1 - n))/
((1 + n)*(2 + n)) + (2^n*(Sec[(e + f*x)/4]^2)^(1 + 2*n)*(Cos[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(e + f*x
))/4]))^n*(2*(2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 2*(1 + n), (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] -
(2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 1 + 2*n, (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] + 2*(1 + n)*Appel
lF1[1 + n/2, -n, 2 + 2*n, 2 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Tan[(e + f*x)/4]))/((1 + n)*(2 + n
)*(1 - Tan[(e + f*x)/4]^2)^n) + (2^(2 + n)*n*(Sec[(e + f*x)/4]^2)^(2*n)*(Cos[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] +
Sin[(3*(e + f*x))/4]))^(-1 + n)*(Cos[(e + f*x)/4]*(-1/4*Cos[(e + f*x)/4] + (3*Cos[(3*(e + f*x))/4])/4) - (Sin
[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(e + f*x))/4]))/4)*Tan[(e + f*x)/4]*(2*(2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -
n, 2*(1 + n), (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] - (2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 1 + 2*n, (
3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] + 2*(1 + n)*AppellF1[1 + n/2, -n, 2 + 2*n, 2 + n/2, Tan[(e
+ f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Tan[(e + f*x)/4]))/((1 + n)*(2 + n)*(1 - Tan[(e + f*x)/4]^2)^n) + (2^(2 + n)
*n*(Sec[(e + f*x)/4]^2)^(2*n)*(Cos[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(e + f*x))/4]))^n*Tan[(e + f*x)/4]
^2*(2*(2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 2*(1 + n), (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] - (2 + n)
*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 1 + 2*n, (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] + 2*(1 + n)*AppellF1[1 +
n/2, -n, 2 + 2*n, 2 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Tan[(e + f*x)/4]))/((1 + n)*(2 + n)*(1 -
Tan[(e + f*x)/4]^2)^n) + (2^(2 + n)*(Sec[(e + f*x)/4]^2)^(2*n)*(Cos[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(
e + f*x))/4]))^n*Tan[(e + f*x)/4]*(((1 + n)*AppellF1[1 + n/2, -n, 2 + 2*n, 2 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(
e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f*x)/4]^2)/2 + 2*(1 + n)*Tan[(e + f*x)/4]*(-1/2*((1 + n/2)*n*AppellF1[2 + n/2, 1 - n,
2 + 2*n, 3 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])/(2 + n/2) - ((
1 + n/2)*(2 + 2*n)*AppellF1[2 + n/2, -n, 3 + 2*n, 3 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f
*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])/(2*(2 + n/2))) - (2 + n)*(-1/2*(n*(1 + n)*AppellF1[1 + (1 + n)/2, 1 - n, 1 + 2*n, 1
+ (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])/(3 + n) - ((1 + n)
*(1 + 2*n)*AppellF1[1 + (1 + n)/2, -n, 2 + 2*n, 1 + (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e
+ f*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])/(2*(3 + n))) + 2*(2 + n)*(-1/2*(n*(1 + n)*AppellF1[1 + (1 + n)/2, 1 - n, 2*(1 +
n), 1 + (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])/(3 + n) - ((
1 + n)^2*AppellF1[1 + (1 + n)/2, -n, 1 + 2*(1 + n), 1 + (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Se
c[(e + f*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])/(3 + n))))/((1 + n)*(2 + n)*(1 - Tan[(e + f*x)/4]^2)^n)))

Maple [F]

\[\int \left (d \sin \left (f x +e \right )\right )^{n} \sqrt {\sin \left (f x +e \right )+1}d x\]

[In]

int((d*sin(f*x+e))^n*(sin(f*x+e)+1)^(1/2),x)

[Out]

int((d*sin(f*x+e))^n*(sin(f*x+e)+1)^(1/2),x)

Fricas [F]

\[ \int (d \sin (e+f x))^n \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\int { \left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{n} \sqrt {\sin \left (f x + e\right ) + 1} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))^n*(1+sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d*sin(f*x + e))^n*sqrt(sin(f*x + e) + 1), x)

Sympy [F]

\[ \int (d \sin (e+f x))^n \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\int \left (d \sin {\left (e + f x \right )}\right )^{n} \sqrt {\sin {\left (e + f x \right )} + 1}\, dx \]

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))**n*(1+sin(f*x+e))**(1/2),x)

[Out]

Integral((d*sin(e + f*x))**n*sqrt(sin(e + f*x) + 1), x)

Maxima [F]

\[ \int (d \sin (e+f x))^n \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\int { \left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{n} \sqrt {\sin \left (f x + e\right ) + 1} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))^n*(1+sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e))^n*sqrt(sin(f*x + e) + 1), x)

Giac [F]

\[ \int (d \sin (e+f x))^n \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\int { \left (d \sin \left (f x + e\right )\right )^{n} \sqrt {\sin \left (f x + e\right ) + 1} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sin(f*x+e))^n*(1+sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*sin(f*x + e))^n*sqrt(sin(f*x + e) + 1), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int (d \sin (e+f x))^n \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\int {\left (d\,\sin \left (e+f\,x\right )\right )}^n\,\sqrt {\sin \left (e+f\,x\right )+1} \,d x \]

[In]

int((d*sin(e + f*x))^n*(sin(e + f*x) + 1)^(1/2),x)

[Out]

int((d*sin(e + f*x))^n*(sin(e + f*x) + 1)^(1/2), x)